НЕТ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В настоящей работе изучается нелинейная система дифференциальных уравнений с запаздыванием. Правая часть системы нелинейна и непрерывна по фазовым переменным, матрица соответствующей линейной однородной системы непрерывна. Изучаемая нелинейная система имеет тривиальное решение. Задачей исследования является поиск условий существования малых ненулевых решений двухточечной задачи системы дифференциальных уравнений с запаздыванием.
Исследованием систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом посвящено большое количество работ. Существенный вклад в развитие этой теории внесли Эльсгольц Л.Э., Мыш-кис А.Д., Рубаник В.П., Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф., Шиманов С.Н., Красовский Н.Н., Кюн О.И., Работнов Ю.Н., Ха-ланай А., Векслер Д. и другие математики.
Многообразие конкретных систем, описывающих реальные процессы, и сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению. Обширную область для исследования представляют случаи, требующие рассмотрения нелинейных членов для решения задачи. Таким образом, задача поиска достаточных условий ненулевых решений двухточечной краевой задачи в нелинейных случаях является актуальной.
Цель работы заключается в получении достаточных условий существования малых ненулевых решений двухточечной краевой задачи системы n дифференциальных уравнений с запаздыванием
x = A()()()()tx + A~t, Х)х + Щ, X%x + ~ft, X)+f{t, x, T^x, x), (0.1)
в которой A()t, A~()t, X), B~()t, X)- непрерывные (nxn) - матрицы, ~f()t, X), f()t, x, y, X) - непрерывные n -мерные вектор-функции, Гц - оператор
сдвига (определение дано в §1.1 первой главы).
Методика исследования. Задача поиска условий существования нетривиальных решений двухточечной краевой задачи системы (0.1) сводится к задаче поиска условий существования ненулевой неподвижной точки нелинейного оператора. Построение нелинейного оператора основано как на свойствах матрицы линейного приближения, так и на свойствах нелинейных членов правой части системы.
Научная новизна. В работе изложен новый способ получения достаточных условий существования малых ненулевых решений двухточечной краевой задачи системы дифференциальных уравнений запаздывающего типа (0.1). Доказаны теоремы, являющиеся новыми
3
3
достаточными условиями существования таких решений. В основе исследований, содержащихся в диссертации, лежит специальным образом построенный вид решения системы дифференциальных уравнений с запаздыванием (0.1), что позволило для решения двухточечной краевой задачи существенно привлечь свойства нелинейных частей системы.
Научная и практическая ценность работы заключается в возможности применить полученные признаки существования решений двухточечной краевой задачи к исследованию конкретных систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, являющихся моделями природных, социальных и экономических процессов.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Структура решений нелинейной системы функционально-дифференциальных уравнений вида (0.1).
2. Достаточные условия существования решений двухточечной краевой задачи системы (0.1) по первому приближению.
3. Алгоритм разрешимости решения двухточечной краевой задачи в критическом случае (когда решение двухточечной краевой задачи зависит от нелинейных членов системы).
4. Достаточные условия существования нетривиального решения системы дифференциальных уравнений (0.1) частного вида.
Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на VIII Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" в г. Пущино, на VI Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач, Понтрягинские чтения - XII» в г. Воронеж, на XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.
Публикации. Основные результаты работы отражены в десяти публикациях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, приложения, заключения и библиографического списка литературы. Общий объем диссертации 99 страниц машинописного текста. Библиографический список содержит 85 наименований.
4
4
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по ее тематике, сформулированы основные результаты, полученные в работе.
В первой главе исследуются свойства решений системы дифференциальных уравнений с запаздыванием в окрестности нулевого решения.
В первом параграфе вводятся основные определения и обозначения, формулируется задача исследования.
Пусть Fffl" - множество определенных и непрерывных на сегменте []0, со ] n -мерных вектор-функций, W("yn — множество определенных и непрерывных на сегменте []0, со] ()n и)-матриц, вектор-функция
Определение. Оператор Гц, действующий на w(/)eFffl" и U(t) = [uij (r)]e W("yn по закону
7>(-) = (и,(щ(-Ж(ц2(•)),...,«„(ц„(•))),
- ()nи)-матрица,
назовем оператором сдвига.
В дальнейшем в работе будут приняты следующие обозначения:
П
G0|L
Zy |0|L p
i=1, n j=l se[0,t]
мерный вектор, G — ()nи)-матрица.
Обозначим множества:
= sup x()s, где x - n-
se[0,t]
/)(б) = { x x Еп, n, x5},
Рассмотрим систему функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием
х = Fit х Т х Х) (\ \)
где Ге[О,со], хе?>(б0), ^еЛ(б0), 50 - некоторое число, 50>0, \isMt, вектор-функция F()t, x, y, X) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица с постоянной K на множестве
[0,ш]х/)(50)х/)(50)хЛ(50):
5
5
F()()t, x1,y1, X)-F(t, x2, y2, X)
ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА. Пусть дано уравнение (1.1), вектор-функция запаздывания цеТЦ и отрезок времени
[]0,со]. Требуется найти начальное значение 6Ге?)(80) и параметр X е Л(б0) такие, что система (1.1) при а =а и Х = Х имеет малое решение x()t, \х,а, X), определённое на сегменте []0,со] и удовлетворяющее краевым условиям
х(о, ц,бГД)=х(со, \1,а,х).
Во втором параграфе доказывается теорема о существовании на сегменте [] 0, ], единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметра системы общего вида и находится оценка решений исследуемой системы.
Теорема 1.1. Пусть выполнены следующие условия:
1. вектор-функция F(t,x,y,X) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица с постоянной K > 0 на множестве
[0,ш]х/)(50)х/)(50)хЛ(50);
2. система (1.1) при Х = 0 имеет определенное на сегменте []0,со] решение x=\\j(t) такое, что Цм/(-|ш <50.
Тогда существует 5 >0, что для любой точки (а,Х), удовлетворяющей неравенствам |ос-\|/(о)|<8 , |А,|<8, система (1.1) имеет единственное решение x =q>(t, а, X) с начальным условием ф(0, аД) ) а, определенное и непрерывное на множестве
{(t,a,X)\t^[0,(o],\x-^(0)<5,\X\<5}u ||ф(-,аД)|и <80.
Следствие 1.1. Пусть выполнены условия:
1. вектор-функция F(t,x,y,X) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица с постоянной K > 0 на множестве
[0,ш]х/)(80)х/)(80)хЛ(80);
2. система (1.1) при Х = 0 имеет решение x = 0.
Тогда существует 8 >0, что для любой точки (аД): |сх|<5 ,
Я,|<8 система (1.1) имеет единственное решение x = y(t,a,X) с начальным условием ф(0,а, Х)=а , определенное и непрерывное на множестве \(t,a, X)\tG[0,со],^х|<8~, |А,|<8 j и |ф(-, а, Х\л <80.
Теорема 1.2. Пусть вектор-функция F()t, x, y, X) удовлетворяет условию Липшица с постоянной K>0 на множестве [о,со]х/)(8о)х/)(8о)хЛ(8о) и F(t, 0, ОД) = 0, x = x()t, [i,a, X) - малое решение системы (1.1), тогда верно неравенство |х(-, ц, аД|ш < С|ос|, где
6
6
= еКш.
В третьем параграфе исследуется система, в которой выделены линейные относительно x члены, находятся оценки, и изучается структура решений.
Рассмотрим систему
x = A()()()()tx + A~t, A)x + B~t, Л)Тмх + /Ь, X)+f(t, x, Тцх, л), (1.2)
где A()t, A~()t, A), B~()t, X)- непрерывные (пхп) - матрицы, ~f()t, А), f()t, x, y, Я) - непрерывные n-мерные вектор-функции.
Пусть X()t, s - фундаментальная матрица системы х =A(t)x , тогда получим X()t, s\, Cx>\ - некоторое постоянное число.
Теорема 1.3. Пусть вектор-функция f()t, x, y, Я) удовлетворяет условию Липшица с постоянной K>0 на множестве [0,co]xD(<50)xD(<50)x A(SO) и f(t, 0, 0, Я) = 0, x = x()t, /л, а, Я) - малое решение системы (1.2), тогда верно неравенство
со
где C =CXe °
Теорема 1.4. Пусть f()t, x, y, А) удовлетворяет условию Липшица с постоянной K>0 на множестве []0, o)]xD(S0)xD(S0)xA(S0) и f()t, 0, 0, А)=О, тогда малое решение системы (1.2) x = x()t, /л, а, А) имеет вид
xit, /л, а, А) = ФЦ, /л, A)cc + it, /л, а, А),
+СО
где Ф(г, ju, A) = y]
k=0
Ok(t, 1Л, A) = jX(t, sp(s, Я)Фк_^, 1Л, A)+B(s, А)ТмФк_^, ц, A)\ts (к = 1, 2, ...),
0
г, /л, A)=x(t, О); (pit, /л, a, A) = ^
k=0 k=0
непрерывные n -мерные вектор-функции,
0
t, s[]a~s, A)pk_,(s, ju, A) + B~s, A)T^k_x(s, ju, A^ls ()k = 1, 2, ...,
0
7
<0(t, /л, a, A) = jx(t, s)f(s, x(s, ju, a, Л), TMx(s, ju, a, A), AJds,
0
0
матрица Ф(г, /л, Л) и вектор-функции (pit, /л, Л) и (pit, /л, а, Л) удовлетворяют неравенствам
IRMI/PMI,
Ф{,1Л,Л\<СХ\\
С, 1
А(; Л
Е„,
в{, л
f
{, ju, a,
* л\ t ЕА 4}
кс( а, -/( -.4 /)
"PMI + ¦ 4,
АЕАЫ--*
1)^_^
Рассмотрим систему
х = A()tx + F1 ()()t, x, Тмх, Л)х + F2 t, x, Тцх, Л)Тцх + f()t, X), (1.3)
где F1()t, x, y, Л), F2()t, x, y, Л) - непрерывные по совокупности своих аргументов (пхп) - матрицы, ~f()t, Л) - непрерывная n-мерная вектор-функция.
Теорема 1.5. Пусть x = x()t, /л, а, Л) - малое решение системы (1.3), тогда это решение имеет вид
x(t, /л, а, Л) = Ф(г, /л, а, Л)сс + (р(г, /л, Л),
+со
где Ф(г, /л, а, Л) = ^фк(*> №¦> а-> ^) ~ непрерывная (п х п)-матрица,
k=0
/л, a, A)=jX(t, sJF^s, х, 7>, л)фк_^, /л, a, A)ds+jx(t, s)F2 (s, х, 7>, л)щ_^, /л, a, A)ds
0 0
+СО
()t, ju, A) - непрерывная
k=0
()k = 1, 2, ..., O0(t,ii,a,A) = x(t,0); (p(t,jU,A) =
п -мерная вектор-функция,
t t
7pkif, /л, Л)= \X(t, s)F\s, х, Тмх, Apk_x{s, /л, A)ds+jX(t, s)F2[s, x, Тцх, AjT^^s, /л, A)ds
0 0
t
(k = l,2,..), vj{, ju, A) = jX(t, s)f(s, A)ds.
0
Для матрицы Ф(г, /л, а, Л) и вектор-функции 7p(t, /л, Л) верны оценки:
8
t
t
е
+
t
t
t
t
t
t
t
ф{,/л,аЛ\<Сх 1 +
F1 + \Fi\
1 + E u! || F2
!
-.
E,
t (invK\\F2i)cxt л
\
Теорема 1.6. Если в системе (1.2) A~()t, A) = A()p1()t, A) + O\A\PiJ, B{t,A)=^P2)(t,A)+(J(^P2), f(t, A)=f{Pi)(t, A)+J{A\Pi), f{t,x,y,A)=/q){t,x,y,A)+d{z\q), где z = (x,y,A), A(pl)(t,A), B(p2)(t,A), f{Pi)(t, A) - формы порядка p1, p2, p3 по A, f()q()t, x, y, A) - форма порядка q по z, то малое решение системы (1.2) представимо в виде Г, /j, а, А)= [X{t, 0)+HyPl2!{t, /j, A)pc + gyPil{t, A)+fyq\t, /j, z)+
где z = (a, A), pu =min{}p1, p2, H()p12()t, ju, A), g()p3()t, A) - формы порядка pu и p3 по A, f{q){t,z) форма порядка q по z. Теорема 1.7. Пусть
x, x,
t, x, y, t, x, y,
F1()t, x, y, A) = R1()r1()t, F2()t, x, y, l) q 1()t,
где z = ()x, y, A), z = (x,y), f{p){t, A), R1() А) и Q1()q1()t, A) - формы порядка p, r1 и q1 по A; R2()r2()t, x, y и Q2()q2()t, x, y - формы порядка r2 и q2 по x и у; R3()r3()t, x, y, А) и Q3()q3()t, x, y, А) - формы порядка r3 и q3 по x, y и А.
Тогда малое решение системы (1.3) представимо в виде x(t, ц, a, A) = [x(t, 0)+#|й)(г, ц, A)+H^\t, ц, a)+H^\t, ц, z)\x+g{p)(t, A)+
+ о{а\р)+ o\a\P2+l)+ [o\a\Pi )+ O(z |й )\а,
где z = (а, А), p1 = min{}r1, q1, p2 = min{}r2, q2, p3 = min{}r3, q3, H1()p1()t, ju, А) и g()p()t, A) - p1 и p-формы по A, H2()p2()t, ju,a) - p2-форма по a, H3()p3()t, ju, z) - формы порядка p3 по z.
Во второй главе находятся достаточные условия существования решения двухточечной краевой задачи системы дифференциальных уравнений с запаздыванием в окрестности тривиального решения.
В первом параграфе двухточечная краевая задача решается по первому приближению.
Во втором параграфе исследуется система (1.2), используя свойства нелинейных членов системы.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
t
1
9
9
x = A()()()()tx + A~t, A)x + B~t, A)TMx + ~ft, X)+f(t, x, Тмх, я). (2.1) Пусть x = x()t, ju,a, Я) - малое решение системы (2.1),
A(t,
формы порядка p1, p2, p3 по Я, f()q()t, x, y, Я) - форма порядка q по z = ()x,y, Я), причем порядок по x и y не меньше 2, тогда, согласно теореме 1.6, решение можно представить в виде
x(t, ju, а, Я)= [x(t, o)+H(p»\t, ju, X)\x + gM(f, Л)+/МЬ, ju, z)+
+ о\^Я\Рг )+ О\^Я\Рп рс + o(|z q J, где г = (сс,Л), р12 = min{/?l3 p2], H^Pil){t, /л, Я), g()p3()t, Я) - формы порядка p12 и p3 по Я, f()q()t, /л, z) - форма порядка q
ПО Z .
Из условия х(со) = x0 = а получим систему
[Е-Х(о, 0)-Н Pl2'{ju, A)pc = g^P3'\A)+f^q'\ju, г)+оЩРз}+ЩЛ\Рпрс+<цг\д}. (2.2) К 0
Пусть Е-Х(со,0) =
, K - гхп-матрица, rankK = r . Это пред-
ставление можно всегда получить, умножая слева на неособенную матрицу, которая исходную матрицу преобразует к нужному виду. Систему (2.2) запишем в виде
\H^Pi
(2
Введем замену Я = ре, e - m-мерный вектор, р = \Я\>0, e = 1, тогда систему (2.3) можно записать
'
тт Положим
Систему (2.4) представим в виде
#(//, е)а = v(ju, a,p,e). (2.5)
Теорема 2.1. Если найдется такой вектор e,e = 1, для
которого йеШ(/л,е)^0, p3 > ри, q >ри, lim
я
12
= 0,
lim
||
= 0, то система дифференциальных уравнений (2.1)
имеет малое ненулевое решение двухточечной краевой задачи.
10
Пусть al,a2,...,an_r линейно независимые решения системы [] E х[со, о)]ог = 0 . Составим пх{п-г) -матрицу G = [аг, а2, ..., ап_г r. Тогда с помощью замены or = G/?, /3 — (n-г)-мерный вектор систему (2.2) можно привести к виду
Я(й2)(//, A)P+g^\A)+f{q)\fi, гр)+сЩРъу+СЩ^р+о^р J=0, в котором H()p12() A)=H<-Pl2\ju, A)G, zp = [р, А) - ()n + m - r -мерный вектор.
Обозначим n-мерную вектор-функцию (форму порядка
p = min{}p12 +1, p3, q по Zp)
l + gM{A)+f%, zp\ если p3 =q = p12+1,
), если p3 = ри +1, q > рп +1, '{q)(ju, zp\ если q = p12 +1, p3 >рп +1, u(zp) = <
gM(A)+fiq)(jU, zp\ если p3 =q
Вr (ju, Л)/3, если q>p12 +1, p3 > рп +1,
й (4 если p3
u(zp) = o\zp\PJ.
(2.6)
Сделаем замену переменных zp = ре, e - ()n + m - r -мерный век-
тор, р = zp > 0, e = 1, тогда систему (2.6) можно записать
u()e =
РР
(2.7) Тогда
Лемма. Пусть выполнено условие (\/е,
система (2.6) не имеет решений отличных от нуля в некоторой малой окрестности нуля, а система дифференциальных уравнений (2.1) не имеет малых нетривиальных решений двухточечной краевой задачи.
Теорема 2.2. Если существует такой ()n + m - r-мерный
ди
вектор e0, e0 =1, что u()e0 = 0 и rangU()e0 = n, где U()e0 =
де
матри-
е=е.
ца Якоби, то система (2.6) имеет ненулевое решение z*p =(/?*, Л*
<—, а система дифференциальных уравнений (2.1) имеет ненуле-G
вое решение x = x(t, ju, а*, Л*), удовлетворяющее равенству
11
со, /л, а , л )= а , а = Ьр ,
а
<5п.
0 .
Пусть выполнено условие
( \
e0
ди
в котором U()e0 = —
де
¦ 1()u()()e0 = 0&0
е=е.
Рассмотрим систему
U(e0)Ae = o(\Ae\)-
(2.8)
Введём замену Ае = ?Ае,где Ае - ()n + m -г -гг) -мерный вектор, L - (п + n+ m (п + m - r - r 1 -матрица, составленная из ()n + m-r-r^) линейно независимых решений системы U()e0y = 0. Тогда предыдущая система примет вид
Р~р Пусть о(|Ае|)= 77Ar(Ae) + o([Ae|fcJ, rjk{Ae) - форма порядка к>2. Тогда
получим систему г/к (Ае) = о(|Ае ek+ o _ '. Сделаем замену переменной,
положив Ае =ру, у - ()n + т-г-^)-мерный вектор, р = \~ e ^ 0, \у| = 1. Предыдущую систему можно привести к виду
Теорема 2.3. Если существует {п + m-r-r^-мерный вектор
у0, уо=1 такой, что t]k{yo) = 0 и rangu{yo) = n, где
ду
- мат-
7=7о
<—0, а система дифференци-G
рица Якоби, то найдутся числа 5>0 и 8 >0 такие, что для любых фиксированных чисел р<5,р^0 и p<5,p^0 система (2.9) имеет ненулевое решение у = уо+Ау*. Система (2.6) имеет ненулевое реше-
ние z* = р(е0 +pl(y0 + А/))=(/?*, Л*),
альных уравнений (2.1) имеет ненулевое решение x = x(t, /л, а\ X), удовлетворяющее равенству х(со, /л, а\ *) = а*, a* =Gp*, а* <50.
Пусть rangQ.(y00r+r1+--- + rk (k - номер процедуры). Если m
12
вой задачи будет невозможно. Следовательно, процедура остановится.
В третьем параграфе исследуется система (1.3) в случае, когда решение двухточечной задача зависит от нелинейной части.
Рассмотрим систему
х = A()tx + F1 ()()t, x, Тмх, Я)х + F2 t, x, Т^х, Я)Тмх + f()t, X), (2.10)
в которой
F& х, у, A) = R^(t,
F2()t, x, у, *) q 1(
где z = ()x, y, A), z = (x,y), f{p)(t, A), R1()r1()t, Я) и Q1 Я) - формы порядка p, r1 и q1 по A; R2()r2()t, z и Q2()q2()t, z - формы порядка r2 и q2 по z; R3()r3()t, z и Q3()q3()t, z - формы порядка r3 и q3 по z. Тогда решение, согласно теореме 1.7, можно представить в виде
x{t, a a, A) = [x(t, 0)+H^{t, а Я)+Н(2р^, ц, a)+H^\t, ц,
где z = (a, Я), p1 =min{}r1, q1, p2 =min{}r2, q2, p3 =min{}r3, q3, H1()p1()t, ц, Я) и g()p()t, Я) - p1 и p-формы по A, H2()p2()t, ju,cc) - p2-форма по а, H3()p3()t, /л, z) - формы порядка p3 по z .
Условие существования решения двухточечной задачи задается системой
[Е-Х{со, 0)-H[p>\ju, Л)-Н^{и, cc)-H^\ju, z)\x = g(p\X)+
Как и в предыдущем параграфе будем предполагать, что rang()E - Х(со, 0 = r < n, m> r .
Пусть ах,а2,...,ап_г линейно независимые решения системы [] E х{со, о)]ог = 0 . Составим пх(п-г)-матрицу G = [al,a2,..., an_rr. Тогда с помощью замены a = G/3, /3 - (n-г)-мерный вектор предыдущую систему можно привести к виду [
в
котором Я1(й)(//Д) = -Я1(й)(/
zp)=-H{3Pi)(ju, zp)/3, zp = {р, Я) - (и + да-г)-мерный вектор.
Обозначим n-мерную вектор-функцию (форму порядка = min{}p1, p2, p3, р-\}+\ по zp)
13
()
\и /?)+Я3Ы(д ^h+gip\4 если Pl =р2=Рз =р-\,
V /?)+Я3Ы(д S J# если А = А = р3
V /?))/?+?Ы(4 если А =А =р-1,Л
зй V f J/?+?W(4 если Pl = р3 =р-\ ,р2 >Pl , ( (й)^ 5j)i»+gW(Ai если р2 =Рз =р-1,р1 >р2
Н1л)(и, A)j3+g(p){A\ если p1 =p-\ ,p3 >p1 ,p2 >p1 , Я/2 (/л, p)p+gp (Л\ если р2 =р-\ ,рх >р2 ,р3 >р2 , H^ifi, zp)p+g{p)(A), если р3 =р-\ ,рг >р3 ,р2 >р3 , gW(4 если pl>p-l ,p2 >р-\ ,p3 >р-\. Тогда система примет вид
(2.11) Сделаем замену переменных zp = ре, e - ()n + m - r -мерный век-
тор, р = zp > 0, e = 1, тогда систему (2.11) можно записать
u()e =
PP
(2.12)
Система (2.12) в точности совпадает с системой (2.7). Дальнейшие рассуждения ведутся аналогично рассуждениям предыдущего параграфа.
Следует отметить, что для системы (2.12) справедливы теоремы 2.2 и 2.3, в формулировках которых необходимо заменить систему (2.1) на систему (2.10).
В третьей главе рассмотрены частный случай системы (1.3) и приложения теории, разработанной в предыдущих главах.
В первом параграфе исследована система (1.3) частного вида и для этой системы получены достаточные условия существования и отсутствия ненулевого решения двухточечной краевой задачи в малой окрестности нулевого решения.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с запаздыванием (1.3) частного вида
x = A()tx + F1(t, x, Г^х, A)x + F2(t, x, Г^х, л)Гмх. (3.1)
Пусть FXt,x,y,A) = [(K(t\A)+4H)l F2(t,x,y,A) = Hft(f\A)+am, где h^if) и hij2()t - непрерывные m-мерные вектор-функции (i, j = 1, n), (•, •) -
скалярное произведение векторов. Введем обозначение
14
0
=к.4
где у/..= ^ \xiki(co,s)[xkj(s,o)hlik(s)+xkj(juk(s),o)h^k(s)[ls - постоянные m-
мерные векторы, X()()t, s = []xijt, sn - фундаментальная матрица системы х = A()tx , X()s, s = E.
Теорема 3.1. Если det()X(со, о)-Е)*О, то система (3.1) не имеет малого ненулевого решения двухточечной краевой задачи.
Пусть rank(x(co,6)-E) = r
Теорема 3.2. Пусть существует номер q&{r + 1,...,n такой, что mnkx?q=n, m>n. Тогда существует такое 5>0, что для любого
X, X <5 существует о*фО, для которых малое решение
х = x(t, /л, а*, X) системы (3.1) удовлетворяет условию x(0, /л, а , Х)= х[со, /л, а , X).
Теорема 3.3. Если существуют число k, \<к<п-г и набор но-
меров i1,i2,L,ik, r
V
m>kn, то система дифференциальных уравнений (3.1) имеет малое решение х=Щ[л,ос,Х), а* =(0, 0,...,ц , 0, ...,0,ц , 0, ...,0,ц4, 0,...,0), удовлетворяющее условию x(0, /л, а\ Х)= х(со, /л, а\ ).
Пусть ^(г,х^Д) = [^(и)+о^й|, F2(t,x,y,A) = lh>(t,A)+o\A\P2l где h\ (t, А) и Щ (t, A) - непрерывные m -мерные вектор-функции, формы по
А порядков p1 и p2 соответственно (i, j = 1,n). Введем обозначение
Ф(Л) =
)х(а>, s){hl(S, A)]x(s, 0)+fy(s, A%X(s, o)}ds, если А =р2,
JX((D, s[]hij1s, A)]x(s, 0ds, еслиp1
\x(co, s[]hij2s, A)}rMX(s, 0ds, если p1>p2.
15
j
Матрица Ф(л) является формой по Л порядка p = min{}p 1,p2.
Далее будем предполагать, что гапк(х(а,6)-Е) = r
Введем замену переменной: Л = ре, р = \Л\ > 0, e = 1.
Теорема 3.4. Если существуют вектор e0,e0 = 1 и номер k,
г<к<п такие, что фк(е0)=0 и гапЮ.ЛеЛ = п, Qk(е) =
(f>k
де
матрица
Якоби, m>n, то система дифференциальных уравнений (3.1) имеет малое ненулевое решение двухточечной краевой задачи.
Теорема 3.5. Если существуют вектор e0,e0 = 1 и номера
i1,i2, L,ik, r
rank?l(e0 ) = kn, Q(e) =
дфЛе)
де
матрица Якоби (j = 1,k),
m>kn, то система дифференциальных уравнений (3.1) имеет ненулевое малое решение двухточечной краевой задачи.
Во втором параграфе исследована математическая модель динамического взаимодействия сегментов финансового рынка. Найдены условия, при которых исследуемая система за время t = со самопроизвольно перейдет в исходное состояние.
В третьем параграфе рассмотрена математическая модель противовирусного иммунного ответа. Решена задача нахождения условий, при которых зараженный малой дозой вирусов орган через время t = со восстановится до первоначального состояния без медицинского вмешательства.
В приложении разработан алгоритм численного решения систем с запаздыванием, написана программа в среде Delphi 4.0. Приведен тест программы на уравнениях, для которых известно точное решение. Результаты расчетов представлены в виде графиков.
Автор выражает благодарность научному руководителю профессору Терёхину М.Т. за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.
16
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ
1. Теняев В.В. Двухточечная задача неоднородной системы с линейным запаздыванием / Ряз. гос. пед. ун-т. - Рязань, 2001. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.03.2001 г., № 550 - В2001.
2. Теняев В.В. Двухточечная задача нелинейной системы с линейным запаздыванием / Ряз. гос. пед. ун-т. - Рязань, 2001. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.03.2001 г., № 551 - В2001.
3. Теняев В.В. непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметра нелинейной системы с запаздыванием / Ряз. гос. пед. ун-т. - Рязань, 2001. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.03.2001 г., № 552 - В2001.
4. Теняев В.В. Оценки и представление решений систем дифференциальных уравнений с линейным запаздыванием // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. / РГПУ. Рязань, 2001. № 4. С. 96-102.
5. Теняев В.В. Условия существования и отсутствия решения двухточечной краевой задачи нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. / РГПУ. Рязань, 2001. № 4. С. 103-107.
6. Теняев В.В. Об одной задаче системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. / РГПУ. Рязань, 2001. № 5. С. 165-171.
7. Теняев В.В. Двухточечная задача нелинейной системы с запаздыванием // VIII международная конференция «Математика, компьютер, образование» (г. Пущино, 31.01 - 05.02.2001 г. Тезисы докладов. Москва: Прогресс-Традиция. 2001 г. С. 236. Тираж 550 экз.
8. Теняев В.В. Двухточечная задача системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения». Воронеж, ВГУ, 2001. С. 151 — 152. Тираж 300 экз.
9. Теняев В.В. Достаточные условия существования решения двухточечной краевой задачи нелинейной системы с запаздыванием // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании (НИТ-2001). VI Всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых учёных и специалистов. Рязань: РГРТА, 2001. С. 16 - 17. Тираж 110 экз.
10. Теняев В.В. Условия существования решений двухточечной задачи нелинейной системы с линейным запаздыванием. Математика. Компьютер. Образование. Вып. 8. Часть II. Сборник научных тру-
17
дов / Под редакцией Г.Ю. Ризниченко. - М.: «Прогресс-Традиция», 2001. С. 443 - 449. Тираж 200 экз.
18
Теняев Виктор Викторович
Двухточечная краевая задача нелинейной
системы дифференциальных уравнений
с отклоняющимся аргументом
Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
Лицензия ЛР № 020049 от 11.07.97. Подписано в печать . Бумага офсетная. Формат 60x84/16.
Гарнитура Times New Roman. Печать ризографическая. Усл. печ. л. 1,17. Уч. -изд. л. 0,6. Тираж 100 экз. Заказ № .
Рязанский государственный педагогический университет
имени С.А. Есенина Россия, 390000, г. Рязань, ул. Свободы, 46
Отпечатано в редакционно-издательском центре РГПУ 390023, г. Рязань, ул. Урицкого, 22
ICQ: 638099552 (в сети)
Тел.: +7 (928) 260-05-38 (на связи)
Почта.: 
Интересные работы (за сутки)
Новые поступления
