ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ 38 ФУНКЦИИ. ОБОБЩЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ НА КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЯХ.
1.1 .Используемые обозначения 3 8
1,2.Пространства основных функций 41
1.3.Приближение дифференцируемых функций 45
многочленами
1 АПространства обобщенных функций 48
1.5 .Продолжения функционалов и операторов 55
1.6.Действие функционалов на функции, 58
зависящие от параметра.
1.7.Обобщенные краевые значения функции на 62
поверхности
1.8.Обобщенные краевые значения функций на 64
плоских кривых
1,9.Первообразные обобщенных функций одного 69
аргумента
ГЛАВА 2. ОБОБЩЕННЫЕ КРАЕВЫЕ 72
ЗНАЧЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
2.1. Краевые значения поверхностных 72
потенциалов. 2.2.Краевые значения потенциалов в плоском 85
случае 2.3.0 стирании особенностей гармонических 97
функций Приложение к главе 2. 109
ГЛАВА 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ГРАНИЧНЫЕ 121
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПЛОСКОМ СЛУЧАЕ.
3.1.Постановка краевых задач и сведение их к 121
интегральным уравнениям в классическом случае
3.2.Обобщенные решения краевых задач в 140
плоском случае
3.3.Обобщенные решения характеристического 158
сингулярного интегрального уравнения на отрезке
ГЛАВА 4. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ГРАНИЧНЫЕ 194
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕННОМ СЛУЧАЕ.
4.1. Постановка пространственных краевых задач. 194
4.2. Единственность обобщенных решений 196
4.3. Краевая задача Неймана в полупространстве 204
4.4. Осесимметричная краевая задача Неймана в 218 области вне круга
4.5. Свойства фундаментальных решений 237
4.6. Построение частных решений специального 241 вида
4.7. Разрешимость краевой задачи Неймана для 251 измеримых правых частей в граничном условии определенного вида.
4.8. Построение фундаментальных решений 261 краевой задачи Неймана
4.9. Существование и свойства классических 271 решений краевой задачи Неймана.
4.10. Обобщенные решения интегрального 281 уравнения Прандтля и краевой задачи Неймана
с обобщенными граничными условиями.
ГЛАВА 5. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ 298
ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ОБОБЩЕННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ.
5.1. Плоские краевые задачи. 298
5.2. Пространственная краевая задача Неймана и 311 уравнение Прандтля.
5.3. Примеры численных решений обобщенного 323 сингулярного интегрального уравнения на
отрезке.
5.4. Численное решение задачи об обтекании 334 профиля в форме отрезка с отсосом потока на
одной из сторон поверхности профиля.
5.5. Численное решение трехмерной задачи об 346 обтекании несущей поверхности с отсосом
потока на одной из сторон поверхности.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 368
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 369
ВВЕДЕНИЕ
В диссертации рассматривается плоская и пространственная краевая задача Неймана для уравнения Лапласа в случае, когда правая часть в граничном условии есть обобщенная функция, понимаемая как непрерывный линейный функционал над пространством основных функций. Необходимость постановки такой задачи возникла в аэродинамике несущей поверхности при моделировании течений идеальной несжимаемой жидкости при наличии отсоса внешнего потока. При этом практический интерес представляет так называемая «экранная задача», когда ищется решение в области вне тонкой разомкнутой поверхности и граничное условие ставится на обеих сторонах этой поверхности. В предлагаемой работе вводится понятие обобщенных краевых значений функции на поверхности и дается постановка краевых задач с обобщенными граничными условиями. В двумерном случае рассмотрены внутренняя и внешняя задачи в области, ограниченной гладкой замкнутой кривой, и внешняя задача в области вне разомкнутой гладкой кривой. В пространственном случае исследована задача в области вне разомкнутой поверхности, являющейся частью плоскости.
Для анализа возникших краевых задач используется метод граничных интегральных уравнений. Плоские задачи сводятся к сингулярным интегральным уравнениям с ядром Коши или Гильберта, а пространственная задача к гиперсингулярному интегральному уравнению, причем, решения этих уравнений ищутся в классе обобщенных функций. Доказана однозначная разрешимость возникающих интегральных уравнений и сводящихся к ним краевых задач. В работе, также, построены и обоснованы численные схемы для приближенного решения поставленных краевых задач, базирующиеся на методе дискретных особенностей. На основе полученных теоретических результатов разработаны новые методы численного решения ряда задач аэродинамики об обтекании тел при наличии отсоса внешнего потока.
Изложим суть аэродинамических задач, которые вызвали необходимость рассмотрения решений с обобщенными граничными условиями; а также опишем численные методы, получившие развитие в предлагаемой работе.
Основы аэродинамической теории несущей поверхности были разработаны в трудах Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина [17,60]. В плоском случае задача об обтекании тонкого профиля крыла потоком идеальной несжимаемой жидкости заключается в нахождении векторного поля v{x) = (vl(x),v2(x))ix = (xlfx2)' (поля скоростей), определенного на плоскости
R2 вне разомкнутой кривой L, задающей форму профиля. При этом должны выполняться уравнения [23 с.113,с.13О], [36]
=-^-i!i»o,xetf\?. (1)
дх1 дх2 дхх дх2
ставится условие на бесконечности
:Яо, (2)
где и^ есть заданный вектор скорости набегающего потока, и в каждой точке
контура L ставится граничное условие, выражающее отсутствие потока жидкости через поверхность профиля:
v*«« = 0,
п - вектор нормали на контуре Z,, v* - краевые значения векторной функции v(x) в точках контура со стороны вектора Ли с противоположной стороны соответственно.
v = w+wm
Рис.1.
В работах Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина была выдвинута идея о том, что при решении задачи о стационарном обтекании профиля следует искать решение записанной задачи - векторное поле v(x), которое ограничено в окрестности задней кромки профиля (точки В) и может быть неограниченным в окрестности передней кромки (точки А).
В первой половине XX века были разработаны методы аналитического решения плоских задач аэродинамики идеальной жидкости на основе теории функций комплексного переменного [15,41,46]. Однако, эти методы не позволяют выписать поле скоростей в виде, пригодном для количественных расчетов, в случае контура L общего вида.
В работах Н.Е.Жуковского, С.А. Чаплыгина и Л. Прандтля (L.Prandtl) была выдвинута идея о том, что несущую поверхность можно моделировать «вихревыми нитями»[18,43,61] . Применительно к плоской задаче это означает, что возмущенное поле скоростей w = v — wn можно представить в виде суперпозиции особенностей типа вихрь, распределенных вдоль поверхности профиля *<*)= [Y(s)V{x-yL{s))ds, xeR2\L, (3)
L
где s - естественный параметр на кривой L, yL(s) - точки кривой L, y(s) - неизвестная плотность вихревого слоя, размещенного на кривой L, V есть векторное поле, определяемое законом Био-Савара (поле скоростей, индуцируемое точечным вихрем)
^()()
В 50-х годах XX- века С.М.Белоцерковским был предложен численный метод приближенного решения рассматриваемой задачи, названный методом дискретных вихрей [4,5]. В этом методе контур L аппроксимируется системой
точечных вихрей, которые размещаются в точках х', / = 1,...л, равномерно распределенных по длине контура, и приближенное поле скоростей ищется в виде
где Г, ,/ = l,.../i - неизвестные циркуляции точечных вихрей. Для нахождения неизвестных Г, ,/ = 1,...я записывается система линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих граничное условие в специальным образом выбранных точках коллокации (контрольных точках). Математическое обоснование данного метода было получено И.К. Лифановым [27]. Он показал, что нахождение неизвестной функции у сводится к решению сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши, а метод дискретных вихрей является по существу методом приближенного решения такого уравнения. В его работах метод был обобщен на различные виды краевых задач. Были разработаны подходы, позволяющие сводить плоские краевые задачи Неймана и Дирихле для уравнений Лапласа и Тельмгольца к сингулярным интегральным уравнениям, причем, как для внутренних и внешних задач в области с замкнутой границей, так и для задач в области вне разомкнутой кривой. Для возникающих сингулярных интегральных уравнений разработаны и обоснованы методы численного решения, являющиеся развитием метода дискретных вихрей [29,30,6,32,9].
В 80-90-х годах был разработан метод дискретных вихревых рамок, позволяющий решать трехмерные задачи аэродинамики ([3], см. также [32 с.473-477], [9 с. 439-448]). В этом методе поверхность обтекаемого тела разбивается на ячейки четырехугольной или треугольной формы и по контуру каждой ячейки размещается вихревая нить неизвестной интенсивности. При этом поле скоростей ищется в виде суперпозиции скорости набегающего потока и скоростей, индуцируемых вихревыми рамками в соответствии с законом Био-Савара. Для нахождения неизвестных циркуляции вихревых рамок на каждой рамке определенным образом выбирается точка коллокации и записывается граничное условие равенства нулю нормальной составляющей скорости. Так же, как и в плоском случае, метод сначала был развит на основе эмпирических соображений, а затем под него была подведена теоретическая база.
Трехмерная задача о потенциальном обтекании тела идеальной несжимаемой жидкостью заключается в нахождении векторного поля v(*), удовлетворяющего всюду вне тела, в области, занимаемой жидкостью, уравнениям [23 с.359], [36]
divv = 0, rotv-0, (4)
условию (2) на бесконечности и граничному условию
v« = 0
на поверхности тела (если тело является тонкой разомкнутой поверхностью, граничное условие должно выполняться для краевых значений с обеих сторон этой поверхности). Удобно перейти к отысканию возмущенного поля скоростей
н> = v-wm . Пусть Q - область в пространстве /?3, в которой ищется векторное
поле w. В диссертации рассматривается случай, когда обтекаемое тело представляет из себя тонкую разомкнутую поверхность ?, причем, эта поверхность лежит на некоторой плоскости и является открытым множеством на этой плоскости. При этом Q = R3 \S, где ? есть замыкание множества ? в пространстве /?3. Если область Q является односвязной, то векторное поле w является потенциальными для его потенциала и возникает краевая задача Неймана
Аи = О в области Q, (5)
ди ' _ (6)
— = / на поверхности Е,
дп где / = -vvO0« (граничное условие (6) ставится на обеих сторонах поверхности
Е), причем, функцию и можно искать так, чтобы выполнялось условие
ljm«(*) = 0. (7)
Эффективным методом решения краевых задач для эллиптических уравнений является метод граничных интегральных уравнений, основанный на теории потенциала. В классической теории потенциала обычно рассматриваются краевые задачи в области, границей которой является замкнутая поверхность [12,24,57,58]. Решение краевой задачи Неймана для уравнения Лапласа ищется в виде поверхностного потенциала простого слоя, размещенного на границе области. При этом задача сводится к уравнению Фредгольма второго рода для неизвестной плотности потенциала простого слоя. Однако в случае, когда граница области является разомкнутой (т.е. в случае экранной задачи), решение задачи Неймана нельзя искать в виде потенциала простого слоя, т.к. нормальная производная потенциала простого слоя претерпевает на поверхности, где он размещен, скачок и поэтому граничное условие не может выполняться одновременно на обеих сторонах поверхности.
В работах И.К.Лифанова предложен подход к решению трехмерных краевых задач Неймана, в котором решение ищется в виде потенциала двойного слоя [28,32]. В этом случае для неизвестной плотности потенциала двойного слоя возникают гиперсингулярные интегральные уравнения, причем, такие уравнения были выписаны как для внутренних и внешних задач в области с замкнутой границей, так и для экранной задачи. И.КЛифанов и Л.Н.Полтавский показали, что метод дискретных вихревых рамок по существу является методом решения гиперсингулярных интегральных уравнений [42,9]. В этих работах была исследована сходимость квадратурных сумм типа метода дискретных вихревых рамок для вычисления гиперсингулярных интегралов в случае, когда область интегрирования есть гладкая разомкнутая поверхность. В случае, когда поверхность S является частью плоскости, Л.Н. Полтавский доказал сходимость численных решений гиперсингулярного интегрального уравнения, получаемых с использованием метода дискретных вихревых рамок, к точному решению. Этим исследованиям посвящен цикл работ [42,31,33,34]. Систематическое изложение полученных в этих работах результатов можно найти в [9]. Опишем основные результаты указанных работ.
7
Рассмотрим краевую задачу Неймана (5)-(7) в случае, когда Q есть множество точек трехмерного арифметического пространства /?3, лежащих вне разомкнутой поверхности ?, которая является частью координатной плоскости Оххх2. При этом предположим, что S есть ¦. выпуклое открытое ограниченное
множество на плоскости, границей которого является бесконечно гладкая кривая дЪ. Решение такой задачи ищем в виде потенциала двойного слоя
1 Л 1
^(x) = Uz[v](x)s-—\y(y)--—----da , xeQ,
4л-1 дпу\х-у\
где д/8пу есть производная по направлению вектора Я = (0,0,1), перпендикулярного к поверхности S, вычисляемая по координатам точки у, интеграл понимается как поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности), v - неизвестная плотность потенциала двойного слоя. Запись граничного условия (6) приводит к интегральному уравнению для функции v (в работе [28] это уравнение названо уравнением Прандтля)
4л-1 \х-у\ где интеграл понимается в смысле конечного значения по Адамару [2]
J f
[l\S(c,x)\X
S(s,x)- открытый круг на плоскости радиуса s с центром в точке х (см. глава 2, формула (2.10)).
Вычислительная схема для приближенного решения уравнения (8) строится следующим образом. Плоскость, на которой лежит поверхность S разбивается на квадратные ячейки со стороной h. Пусть <тк, к = \,...,п, есть ячейки, целиком лежащие в множестве ?. Приближенное решение ищется в виде функции И, заданной на множестве Zh = [J <тк и принимающей на каждой
к=К..п
ячейке постоянное значение vk. В центре каждой ячейки разбиения сгк берется
точка коллокацииос* =(х*,Х2), к = \,...,п и записывается система линейных алгебраических уравнений.
г • 1 (10)
где >;=
J
есть потенциал двойного слоя с плотностью равной 1, размещенный на ячейке
выражение для коэффициентов ain i = l,...,n, преобразовать к обычному несоб-
ственному интегралу.) При этом приближенное решение краевой задачи Неймана (5)-(7) представляется в виде
Отметим, также, что градиент функции nh{x) записывается в виде [23]
причем, для каждого j = {,...,п функция и>у(лг) может быть представлена как
векторное поле, индуцируемое вихревой нитью, размещенной по контуру ячейки CFj, которое определяется законом Б ио-Савара. В'случае рамки прямоугольной формы векторное поле Wj(x) может быть вычислено аналитически [32].
Л.Н. Полтавский доказал (см. [42,9]), что если v есть заданная функция на множестве Е, представляющаяся в виде
где v* имеет на множестве Е первые производные, непрерывные по Гельдеру, р(х,дТ) - расстояние отточки х до края поверхности ?, то выполнена оценка
X-XJ
где G и pi есть некоторые положительные константы.
Обоснование сходимости численных решений уравнения (8), получаемых на основании уравнений (10) впервые было получено в докторской диссертации Л.Н. Полтавского [42], в предположении, что уравнение (8) имеет решение, представляющееся в виде (13). При этом была доказана сходимость приближенных решений к точному в среднем, а также равномерная сходимость приближенных решений к точному и разностных отношений, получаемых при использовании приближенного решения, к производным точного решения первого порядка на любом замкнутом подмножестве внутренности множества S (здесь множество I рассматривается как множество на плоскости). Одним из результатов, полученных автором настоящей диссертации, явилось доказательство равномерной сходимости приближенных решений к точному на всем множестве; S (см. п.5.2.2 настоящей диссертации). Опираясь на этот результат, Л.Н. Полтавский получил оценки для численных значений производной неизвестной функции, справедливые вплоть до границы множества S [9]. (Нахождение приближенных значений производных функции v необходимо в задачах аэродинамики для расчета сил давления, действующих на поверхность).
Новый класс постановок краевых задач и граничных интегральных уравнений возник при моделировании обтекания тел потоком идеальной несжимаемой жидкости при наличии отсоса внешнего потока [7]. Так при моделировании
плоского обтекания тонкого профиля с отсосом потока, осуществляемым на одной стороне профиля в заданной точке q = (qvq2) e? на профиле, возникает задача о нахождении векторного поля скоростей, имеющего в окрестности точки q со стороны, где осуществляется отсос потока, особенность типа сток. С другой стороны профиля поле скоростей должно быть непрерывным (рис. 2).
V
Q.
W.
L
В работе В.И. Бушуева и И.К. Лифанова [7] предложено искать такое поле скоростей в виде v = wK + wQ + w, где >уда есть скорость потока на бесконечности, wQ - векторное поле, индуцируемое особенностью типа сток:
?7 - заданная константа, выражающая объемный расход отсасываемой жидкости за единицу времени, w есть векторное поле, индуцируемое вихревым слоем неизвестной интенсивности y(s), которое определяется выражением (3), причем, функция / должна представляться в виде
Q 1 . (14)
7ZS-Sq
где sq - значение естественного параметра на контуре L, соответствующее точке q, у* - функция, непрерывная по Гельдеру в окрестности точки sq (предполагается, что отсос потока осуществляется со стороны вектора нормали Я и пара векторов (т,Я), где f = dyL(s)lds, является правой). При этом доказано [35], что в окрестности точки q со стороны, противоположной вектору Я, поле v является непрерывным, а со стороны вектора Я представляется в виде
_ ч Q q-x
-*
n\x-q\
где v\x) есть непрерывная функция в окрестности точки q со стороны вектора п. Задача сводится к сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши на отрезке для функции у
1 ry(s) 2x}so-
10
которое должно выполняться во всех точках yL(s0) e L, кроме концов кривой L и точки д, правая часть уравнения и ядро K(s,s0) есть некоторые заданные гладкие функции, причем ищется решение записанного уравнения, имеющее вид (14). Такие решения были названы сингулярными. Для приближенного нахождения сингулярных решений была предложена численная схема типа мето-., да дискретных вихрей и доказана ее сходимость (обоснование сходимости •г см.[32 с.350-354]). При этом нахождение приближенных значений функции у в узлах сводится к решению алгебраической системы линейных уравнений, в которых заложена ассимптотика функции у в окрестности точки sq.
В дальнейших работах, выполненных Лифановым И.К. с рядом соавторов [65-69,35], были рассмотрены различные варианты постановок краевых задач и сингулярных уравнений с сингулярными решениями. Так оказалось, что если интенсивность стока Q считать неизвестной, то можно поставить краевую задачу об отыскании векторного поля v, офаниченного в окрестностях обоих концов кривой L. С точки зрения аэродинамики организация такого течения с безударным обтеканием передней кромки представляет значительный интерес, поскольку за счет этого имеется возможность предотвратить отрыв потока и потерю несущих свойств профиля на больших углах атаки. Систематическое изложение различных постановок краевых задач и численные схемы их решения приведено в монофафии [32].
В перечисленных работах рассматривались и трехмерные задачи об обтекании различных тел с отсосом потока через тонкие щели, расположенные на поверхности этих тел. При этом для задания поведения численных решений в окрестности линии отсоса в каждом сечении тела плоскостью, расположенной поперек линии отсоса, записывались уравнения, заимствованные из плоской задачи. Однако в трехмерном случае отсутствует не только обоснование сходимости метода, но четкая математическая постановка решаемых задач. Кроме того, применимость имеющихся моделей можно считать правомерной только в случаях, когда течение является близким к плоскопараллельному, например, при моделировании обтекания крыльев большого удлинения со щелями, расположенными вдоль размаха крыла.
В предлагаемой диссертации развит новый подход к постановке и решению задач указанного типа. Основная идея этого подхода заключается в том, чтобы рассматривать краевые значения неизвестных функций и их нормальных производных как обобщенные функции. Так в задаче об обтекании профиля с отсосом потока в точке q, нормальная составляющая вектора скорости в каждой точке профиля, отличной от точки q, должна быть равна нулю. В то же время суммарный поток вектора скорости через контур L со стороны вектора п должен быть равен -Q. Это наводит на мысль поставить со стороны вектора п краевое условие vn = -Q8{s-sq), где 8 есть дельта функция Дирака. Для того, чтобы придать записанному равенству строгий математический смысл, в диссертации вводится понятие обобщеииых краевых значений и обобщенных
п
нормальных производных. Дается постановка плоской краевой задачи для векторной функции, удовлетворяющей уравнениям (1), и краевой задачи Неймана (5)-(7) в пространственном случае при условии, что правая часть в граничном условии есть обобщенная функция. Поставленные краевые задачи сводятся к граничным интегральным уравнениям, причем, в плоском случае возникает сингулярное интегральное уравнение (15), а в пространственном случае гипер- сингулярное интегральное уравнение (8). Для записанных уравнений вводится понятие обобщенного решения. Рассмотрены вопросы разрешимости поставленных краевых задач и сингулярных интегральных уравнений. Предложены численные схемы решения записанных интегральных уравнений в случае, когда правая часть есть обобщенная функция некоторого частного вида и доказана сходимость приближенных решений к точному в некоторой слабой топологии. При этом для решения соответствующих краевых задач доказана сходимость приближенных решений и их частных производных всех порядков к точным значениям во всех внутренних точках области определения.
На основе полученных результатов разработан новый метод решения как плоских, так и пространственных задач аэродинамики об обтекании тел с отсосом потока, причем, в плоском случае отсос потока осуществляется в точке на профиле, а в пространственном случае в точке или через щель в форме произвольной кусочно-гладкой кривой. Основное отличие предложенного подхода от использовавшегося ранее заключается в том, что при записи граничных интегральных уравнений особенность в решении не выделяется заранее, а возникает автоматически в зависимости от вида правой части. При численном решении задач аэродинамики с отсосом потока возникают системы линейных уравнений с те ми же самыми матрицами, что ив случае, когда рассматривается обычное обтекание без отсоса потока. Вся информация об отсосе потока содержится в правых частях линейных уравнений. Это сильно упростило реализацию алгоритма на ЭВМ, особенно в трехмерном случае, поскольку в ранее использовавшихся алгоритмах необходимо было помечать точки, аппроксимирующие линию, через которую происходит отсос потока, и для каждой такой точки записывать свое уравнение, задающее вид решения вблизи этой точки.
Способ постановки краевых задач с обобщенными граничными условиями и методы теоретического исследования разрешимости этих постановок отличаются от известных ранее. Возможный способ такой постановки краевых задач для эллиптических уравнений был предложен в работе М.И.Вишика и С.Л.Соболева .[11]. В этой работе рассматривалась внутренняя краевая задача для уравнения Пуассона. При этом неизвестная функция рассматривалась как обобщенная функция, заданная во всем пространстве и равная нулю вне замыкания области, в которой ищется решение. Левые части уравнения и граничного условия рассматривались как единый оператор над такой обобщенной функ- цией. Однако такой подход не применим к экранным задачам.
В настоящее время достаточно широко, также, развиты постановки и теория краевых задач, в которых решение является обобщенной функцией в области, а на границе краевые значения неизвестной функции и ее производных ле-
12
жат в пространствах Соболева интегрируемых функций Wrp, pe[\,°o),reZ+
[55,38]. Но эти пространства не являются достаточно широкими для применения в задачах аэродинамики с отсосом потока ( так эти пространства не содержат 8 -функцию).
Другой подход к введению обобщенных краевых значений функций и исследованию поведения функции у границы области основан на представлении функции через интегралы по границе. Плоские краевые задачи для эллиптических уравнений тесно связаны с краевыми задачами для аналитических функций комплексного переменного, которые, в свою очередь, сводятся к сингулярным интегральным уравнениям. Обычно сингулярные интегральные уравнения рассматриваются в классах функций, непрерывных по Гельдеру [40,13]. Интегрируемые по Лебегу краевые значения аналитических функций комплексного переменного и плоских гармонических функций, возникли при исследовании свойств интеграла Коши с плотностью, интегрируемой по Лебегу [70,19,10,44,59]. В работах [53,54,16] рассматривались краевые задачи Римана и Гильберта для аналитических функций с измеримыми коэффициентами. К этим вопросам примыкают исследования по теории сингулярных интегралов и сингулярных интегральных уравнений в классах измеримых функций [39, 37]. Эти результаты могут быть использованы при постановке и исследовании двумерных краевых задач.
Дальнейшее развитие обобщенных постановок граничных условий оказалось возможным путем рассмотрения -граничных интегральных уравнений в классах обобщенных функций. При этом широкое распространение получила теория псевдо-дифференциальных операторов, основанная на преобразовании Фурье [1,62,64,63]. В работах Л.Н. Полтавского (см.[42,31,33,34,9]) теория псвдодифференциальных операторов была применена к исследованию разрешимости гиперсингулярного интегрального уравнения (8), в котором правая часть и неизвестная функция рассматривались в пространствах Соболева-Слободецкого. Было получено и обоснование численного метода типа метода дискретных вихревых рамок для отыскания таких решений. Однако порядок обобщенных функций в правой части уравнения (8), для которых были получены указанные результаты, не достаточен для приложения к описанным выше задачам аэродинамики. В частности случай, когда в правой части стоит дельта-функция, этими работами не охватывается.
В работах Лифанова И.К. и Вайникко Г.М. рассмотрено сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта в случае, когда правая часть в этом уравнении есть дельта функция см. [8,9]. Для исследования такого уравнения применена теория псевдо-дифференциальных операторов и показано, что решение уравнения имеет неинтегрируемую особенность вида (14). Такое уравнение рассматривалось в связи с приложением к плоским краевым задачам аэродинамики, описанным выше. Однако трехмерные краевые задачи при этом не рассматривались.
13
В настоящей диссертации предлагается новый подход к исследованию краевых задач с обобщенными граничными условиями и граничных интегральных уравнений. В работе вводится понятие поверхностных потенциалов простого и двойного слоя с обобщенной плотностью. При этом плотность указанных потенциалов рассматривается как линейный функционал, действующий на ядро поверхностного потенциала по переменной, пробегающей границу области. Далее с использованием таких потенциалов строятся решения краевых задач для случая, когда правая часть в граничном условии есть дельта-функция с носителем в заданной точке границы области. Такие решения названы фундаментальными решениями краевой задачи. Затем рассматриваются граничные сингулярные интегральные уравнения в классе обобщенных функций. Исследование свойств продолжений сингулярных и пшерсингулярных интегральных операторов на обобщенные функции основано на рассмотрении значений этих операторов как краевых значений гармонических функций.
В трехмерном случае для построения обобщенных решений гиперсингулярного интегрального уравнения (8) сначала строится семейство решений для случая, когда правая часть есть дельта-функция, носитель которой пробегает поверхность Е, причем, такие решения выражаются через обобщенные краевые значения фундаментальных решений соответствующей краевой задачи. Затем это семейство функций использовано для построения интегрального оператора, обращающего оператор в уравнении (8) (другими словами для уравнения (8) строится функция Грина). Далее действие этого обратного оператора распространяется на обобщенные функции. Свойства этого обратного оператора использованы и для обоснования численного метода решения уравнения (8).
В плоском случае при исследовании обобщенных решений сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши на отрезке использован подход, основанный на сведении этого уравнения к краевой задаче Римана для аналитических функций. Для уравнений, рассматриваемых в классах функций, непрерывных по Гельдеру, этот подход описан в монографиях Н.И. Мусхелишвили и Ф.Д. Гахова [40,13]. В настоящей диссертации введено понятие краевой задачи Римана с обобщенными граничными условиями и получены аналитические представления для решений такой задачи. Затем на основе этих представлений получены формулы для обращения сингулярного интегрального уравнения на отрезке с обобщенной правой частью.
Содержание диссертации.
По структуре диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения.
В первой главе вводятся пространства основных и обобщенных функций и рассматриваются свойства этих функций, необходимые для дальнейшего изложения. При этом обобщенные функции рассматриваются как непрерывные линейные функционалы над специальным образом введенными пространствами основных функций, т.е. в смысле Соболева-Шварца. (Математические основы теории таких пространств заложены в работах С.Л. Соболева [55] и Л.Шварца
14
[71]. Определениями свойства основных и обобщенных функций, излагаемые в диссертации, в основном соответствуют монографиям [14],[62].)
Пусть Q, - область в пространстве R" и пусть Q есть замыкание этой области в R".
В качестве пространств основных функций взяты линейные пространства Dm(Q), meZ+, элементами которых являются функции < <р(х) е C"(Q) такие, что supp (р с Q ¦ - множество, компактное в R", а сходимость последовательности {<рк }и v с Dm(Q); к • со определена условиями:
а) существует компактное множество GcQ такое, что supp#? с: G; \fk e.N ¦=> supp^ с G;
б) для сужений функций #>Л и ^? на множество G справедливо соотношение: (рк -> <р при Л: .-> со по норме пространства Cm(G).
Кроме того, введено пространство Z>°°(Q) - линейное пространство, элементами которого являются функции ф(х) е С°°(П) с компактным носителем supp ^cQ, причем, последовательность функций [
функции #>еDCO(Q) при А:-»со, если VmeZ+ следует, что срк-^>ср в смысле сходимости в пространстве DOT(Q).
Пусть Dm '(Q), где т е Z+ или w = со, есть пространство действительных непрерывных по Гейне линейных функционалов на пространстве Dm(Q). Обозначим {f,(p) - значение функционала f / при
к -> оо в пространстве Dm '(D), если для любой функции д> е Dm(Cl) выполнено условие \im(fk, (р) = (/, ср).
к-*оа
В параграфе 1.5.. вводятся понятия продолжений для некоторых функционалов и операторов.
Пусть Q есть ограниченная область в R" и пусть Q, есть открытое подмножество области XI такое, что Q, с: Q'.
о о
Определение 1 (Определение 1.7) Обозначим D = Dnx (Q) множество функционалов / е D°° '(Q) таких, что supp f с Q,.
(В скобках указана нумерация определений и теорем, взятая из основного текста диссертации.)
15
При каждых фиксированных Q и П, множество D будем рассматривать как линейное пространство, в котором введена сходимость последовательности элементов как сходимость в пространстве ?>°° '(О).
Обозначим Ст* (Q) и C""*(Q), meN или т - оо, - множества всех, л иней-< ных функционалов над пространствами Cm(Q) и C"(fi) соответственно.
Дня функционалов; лежащих в пространстве D, введены понятия продолжений на пространства С°°(О) и C°(Q). Обозначим Н:=С°(О) или
Я = С°°(?2) и пусть Я*=С°°*(О) или Я* = С00*(Q) соответственно (здесь Я* есть пространство, алгебраически сопряженное с Я).
Определение 2 (Определение 1.8) Функционал /еЯ* /?аве« мул/о «а
границе области Q, если в пространстве R" найдется открытое множество U такое, что 8QaU и для любой функции ср с Я, удовлетворяющей условию
supp (paU, выполнено условие (/,^?) = 0.
о
Определение3 (Определение 1.9) Продолжением функционала f'eD на пространство Н, где Н = C*(Q) или Я^С00^), будем называть функционал f еЯ*, равный нулю на границе области Q, такой, что (f,
Доказано (см. лемму 1.12), что для любого функционала f eD продол- жение на пространство Я, где Я = C°°(Q) или Я = G°°(Q), существует, является единственным и определяется формулой
где 77 есть любая функция, удовлетворяющая условиям ц е D*(Q), tj(x) = 1 при д: е supp/ и supp( 1 - rj) f| supp/ = 0 (в случае Я = С00(Q) функцию ^^?, определенную в области Q, полагаем равной нулю на границе этой области).
Пусть 7j и Т2 есть линейные пространства, в которых введено понятие
сходящейся последовательности.
Определение 4 (Определение 1.10). Пусть Т есть некоторое подмножество пространства 7] и пусть I - оператор, определенный на множестве
Т с значениями в пространстве Т2. Оператор I: Тх -> Т2 будем называть продолжением оператора I если для любой последовательности {/,} с: Т такой,
что /п->/еТ{ в пространстве Тх, выполнено условие /[/„]—»/[/] в пространстве Т2.
В параграфе 1.8 вводится понятие обобщенных краевых значений и обобщенных нормальных производных функции трех аргументов на поверхности, которая является частью плоскости.
Пусть ? есть область на координатной плоскости Оххх2. Множество I
будем рассматривать как поверхность в пространстве Л3 и пусть Я = (0,0,1) -положительный вектор нормали к поверхности S. Предположим, что
feDm(L), где meZ+ или т = со, есть пространство обобщенных функций, веденное выше, и предположим, что и(х) есть функция, определенная и непрерывная в одном из цилиндров Щ = 1х е R3 х = у+?п,у е Е, е е (0, е0)} или
Ц1 = 1х е /?31х = у - sn, у е ?, ? е (0, ?0)\, где ?Q > 0 - некоторая константа.
Определение 5 (Определение 1.13). Функция и имеет на поверхности Е обобщенные краевые значения uz =f класса Dm '(E) со стороны вектора Я,, где пх=±п, если V^> б Dm (Е) => (/, (р) - lim \и(х + ? Я, )
Теперь предположим, что и(х) есть функция, определенная и непрерывно дифференцируемая в одном из цилиндров Ц?.
Определение 6 (Определение 1.14). Функция и имеет на поверхности Е
обобщенные нормальные производные ди/дп = / класса Dm (E) со стороны вектора Я,, где пх=±п, если
V(реDm(Е) => (/,(р) = lim |ди(х+? пх)1дп (p{x)dx.
с-*0 е>0 J
I
В параграфе 1.9 вводятся пространства основных и обобщенных функций на плоских кривых. При этом рассматриваются гладкие кривые, как замкнутые, так и разомкнутые. Водятся понятия обобщенных краевых значений и обобщенных нормальных производных для функций двух переменных, заданных вне этих кривых.
В главе 2 рассматриваются свойства гармонических функций и поверхностных потенциалов точечного заряда, простого и двойного слоя; В параграфе 2.1. рассмотрены свойства потенциалов в трехмерном случае.
В п.2.1.1. излагаются и систематизируются известные свойства поверхностных потенциалов. Потенциалом точечного заряда, сосредоточенного в начале координат, в трехмерном случае называется функция
(здесь 0 - нулевой элемент в i?3), являющаяся гармонической при всех х Ф 0.
Пусть Е есть область на плоскости л = R2, рассматриваемая как поверхность в пространстве R3. Потенциалами простого и двойного слоя называются функции, определяемые следующими формулами соответственно:
07)
17
ICQ: 638099552 (в сети)
Тел.: +7 (928) 260-05-38 (на связи)
Почта.: 
Интересные работы (за сутки)
Новые поступления
